Question

y''+y'+y=x的通解 特解写一下过程谢谢

正常右边都是e的函数这个直接x我不会啦 谢谢各位大神

Answer 1

先求齐次方程y''+y'+y=0的通解，再求非齐次方程y''+y'+y=x的特解。齐次方程的特征方程为

λ²+λ+1=0，特征方程的解为λ₁=(-1-√3j)/2，λ₂=(-1+√3j)/2。因此其通解为
y=C₁exp(-x/2)cos(√3x/2)+C₂exp(-x/2)sin(√3x/2)。
再求y''+y'+y=x的一个特解。y=x-1是原方程的一个特解。因此，整个方程的解为
y=C₁exp(-x/2)cos(√3x/2)+C₂exp(-x/2)sin(√3x/2)+x-1。

追问

特解x-1手机怎么出来的，能详细点吗

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追答

因为右边激励函数是x，考虑方程为线性，那么特解应是不超过一次的多项式形式，即Ax+B，带入原方程，得到A+Ax+B=x，比较系数得到A=1，A+B=0（B=-1）。即x-1的形式。