Question

计算积分1/(2+sinx),0到2pi

Answer 1

∫(0,2π)dx/(2+sinx)=2π/(√3)。

分析过程如下：

将积分区间[0,2π]拆成[0,π/2)∪[π/2,π)∪[π,3π/2)∪[3π/2,2π)，则：

∫(0,2π)dx/(2+sinx)=∫(0,π/2)dx/(2+sinx)+∫(π/2,π)dx/(2+sinx)+∫(π,3π/2)dx/(2+sinx)+∫(3π/2,2π)dx/(2+sinx)。

对后三个积分，分别设x=t+π/2、t+π、t+3π/2，则：

∫(0,2π)dx/(2+sinx)=4∫(0,π/2)dx/[4-(sinx)^2]+4∫(0,π/)dx/[4-(cosx)^2]。

而∫(0,π/2)dx/[4-(sinx)^2]=∫(0,π/2)d(tanx)/[4+3(tanx)^2]=[1/(2√3)]arctan[(2/√3)tanx]丨(x=0,π/2)=π/(4√3)，同理，∫(0,π/2)dx/[4-(cosx)^2]=π/(4√3)。

∫(0,2π)dx/(2+sinx)=2π/(√3)。

记作∫f(x)dx或者∫f（高等微积分中常省去dx），即∫f(x)dx=F(x)+C。其中∫叫做积分号，f(x)叫做被积函数，x叫做积分变量，f(x)dx叫做被积式，C叫做积分常数或积分常量，求已知函数的不定积分的过程叫做对这个函数进行不定积分。

扩展资料：

常用积分公式：

1）∫0dx=c

2）∫x^udx=(x^(u+1))/(u+1)+c

3）∫1/xdx=ln|x|+c

4）∫a^xdx=(a^x)/lna+c

5）∫e^xdx=e^x+c

6）∫sinxdx=-cosx+c

7）∫cosxdx=sinx+c

8）∫1/(cosx)^2dx=tanx+c

Answer 2

∫(0,2π)dx/(2+sinx)=2π/(√3)。

分析过程如下：

将积分区间[0,2π]拆成[0,π/2)∪[π/2,π)∪[π,3π/2)∪[3π/2,2π)，则：

∫(0,2π)dx/(2+sinx)=∫(0,π/2)dx/(2+sinx)+∫(π/2,π)dx/(2+sinx)+∫(π,3π/2)dx/(2+sinx)+∫(3π/2,2π)dx/(2+sinx)。

对后三个积分，分别设x=t+π/2、t+π、t+3π/2，则：

∫(0,2π)dx/(2+sinx)=4∫(0,π/2)dx/[4-(sinx)^2]+4∫(0,π/)dx/[4-(cosx)^2]。

而∫(0,π/2)dx/[4-(sinx)^2]=∫(0,π/2)d(tanx)/[4+3(tanx)^2]=[1/(2√3)]arctan[(2/√3)tanx]丨(x=0,π/2)=π/(4√3)，同理，∫(0,π/2)dx/[4-(cosx)^2]=π/(4√3)。

∫(0,2π)dx/(2+sinx)=2π/(√3)。

扩展资料：

定积分一般定理：

1）定理1：设f(x)在区间[a,b]上连续，则f(x)在[a,b]上可积。

2）定理2：设f(x)区间[a,b]上有界，且只有有限个间断点，则f(x)在[a,b]上可积。

3）定理3：设f(x)在区间[a,b]上单调，则f(x)在[a,b]上可积。

积分的公式

1、∫ a dx = ax + C，a和C都是常数

2、∫ x^a dx = [x^(a + 1)]/(a + 1) + C，其中a为常数且 a ≠ -1

3、∫ 1/x dx = ln|x| + C

4、∫ a^x dx = (1/lna)a^x + C，其中a > 0 且 a ≠ 1

5、∫ e^x dx = e^x + C

6、∫ cosx dx = sinx + C

7、∫ sinx dx = - cosx + C

8、∫ cotx dx = ln|sinx| + C = - ln|cscx| + C

9、∫ tanx dx = - ln|cosx| + C = ln|secx| + C

Answer 3

　　　　解：分享一种解法。
　　将积分区间[0,2π]拆成[0,π/2)∪[π/2,π)∪[π,3π/2)∪[3π/2,2π)，则　　∫(0,2π)dx/(2+sinx)=∫(0,π/2)dx/(2+sinx)+∫(π/2,π)dx/(2+sinx)+∫(π,3π/2)dx/(2+sinx)+∫(3π/2,2π)dx/(2+sinx)，对后三个积分，分别设x=t+π/2、t+π、t+3π/2，则
　　∴∫(0,2π)dx/(2+sinx)=4∫(0,π/2)dx/[4-(sinx)^2]+4∫(0,π/)dx/[4-(cosx)^2]。
　　而∫(0,π/2)dx/[4-(sinx)^2]=∫(0,π/2)d(tanx)/[4+3(tanx)^2]=[1/(2√3)]arctan[(2/√3)tanx]丨(x=0,π/2)=π/(4√3)，同理，∫(0,π/2)dx/[4-(cosx)^2]=π/(4√3)，
　　∴(0,2π)dx/(2+sinx)=2π/(√3)。
　　【另外，亦可设z=e^(ix)，转换成复变函数，利用留数定理求解，且较“简捷”】供参考。

Answer 4

万能代换公式啊