Question

请问用柯西收敛准则该怎么证明? 题如图

Answer 1

先利用和差化积公式进行化简

[cosnx-cos(n+1)x]/n=2sin[(n+1/2)x]sin(x/2)/n
原级数=2sin(x/2)*∑(n=1->∞)sin[(n+1/2)x]/n
令xn=sin[(n+1/2)x]/n
对任意ε>0，存在正整数N=[2/ε]+1，使对任意m,n>N，有
|xm-xn|=|sin[(m+1/2)x]/m-sin[(n+1/2)x]/n|
<=|sin[(m+1/2)x]/m|+|sin[(n+1/2)x]/n|
<=1/m+1/n
<1/N+1/N
=2/N
=2/([2/ε]+1)
<2/(2/ε)
=ε
所以根据柯西收敛准则，{xn}的数项级数收敛，即原级数收敛

追问

好像只是证明了{xn}数列收敛，而这个数列并不是级数