Question

证明，求高数大神，求详细步骤

Answer 1

证明：
[u(x)·v(x)]'
=lim(Δx→0) [u(x+Δx)·v(x+Δx)-u(x)·v(x)]/Δx
=lim(Δx→0) [u(x+Δx)·v(x+Δx)-u(x)v(x+Δx)+u(x)v(x+Δx)-u(x)·v(x)]/Δx
=lim(Δx→0) [u(x+Δx)·v(x+Δx)-u(x)v(x+Δx)]/Δx + [u(x)v(x+Δx)-u(x)·v(x)]/Δx
=lim(Δx→0) v(x+Δx)·[u(x+Δx)-u(x)]/Δx + u(x)·[v(x+Δx)-v(x)]/Δx
u(x)、v(x)可导，且v(x+Δx)在Δx→0时极限存在，因此：
[u(x)·v(x)]'
=lim(Δx→0) v(x+Δx)·[u(x+Δx)-u(x)]/Δx + u(x)·[v(x+Δx)-v(x)]/Δx
=lim(Δx→0) v(x+Δx)·[u(x+Δx)-u(x)]/Δx +lim(Δx→0) u(x)·[v(x+Δx)-v(x)]/Δx
=lim(Δx→0)v(x+Δx)·lim(Δx→0)[u(x+Δx)-u(x)]/Δx+u(x)·lim(Δx→0) [v(x+Δx)-v(x)]/Δx
=v(x)·u'(x)+u(x)·v'(x)
=u'(x)v(x)+u(x)v'(x)
证毕！