已知a>0 b>0 a+b=1 。求(a+1/a)^2+(b+1/b)^2的最小值
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设x=ab,则0<x<=1/4,
(a+1/a)^2+(b+1/b)^2
=a^2+2+1/a^2+b^2+2+1/b^2
=[(a+b)^2-2ab]*[1+1/(a^2*b^2)]+4
=(1-2x)(1+1/x^2)+4
=-2x+5-2/x+1/x^2,记为f(x),
f'(x)=-2+2/x^2-2/x^3=(-2/x^3)(x^3-x+1)<0,
∴f(x)↓，f(x)|min=f(1/4)=12.5.
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(a+1/a)^2+(b+1/b)^2
=a^2+2+1/a^2+b^2+2+1/b^2
=[(a+b)^2-2ab]*[1+1/(a^2*b^2)]+4
=(1-2x)(1+1/x^2)+4
=-2x+5-2/x+1/x^2,记为f(x),
f'(x)=-2+2/x^2-2/x^3=(-2/x^3)(x^3-x+1)<0,
∴f(x)↓，f(x)|min=f(1/4)=12.5.
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