高数证明极限 求解答
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首先，显然数列{x(n)}有界，
其次，
∵0＜x(n)＜1
∴x(n+1)=x(n)[2-x(n)]＞x(n)
【∵2-x(n)＞1】
∴数列{x(n)}是单调递增的。
根据单调有界定理，
数列{x(n)}是收敛的。
下面来求极限，
设lim(n→∞)x(n)=a，
则lim(n→∞)x(n+1)=a
∴a=2a-a²
解得，a=0或a=1
由于{x(n)}单调递增，
∴x(n)≥x(1)
∴a＞0
综上，lim(n→∞)x(n)=a=1
其次，
∵0＜x(n)＜1
∴x(n+1)=x(n)[2-x(n)]＞x(n)
【∵2-x(n)＞1】
∴数列{x(n)}是单调递增的。
根据单调有界定理，
数列{x(n)}是收敛的。
下面来求极限，
设lim(n→∞)x(n)=a，
则lim(n→∞)x(n+1)=a
∴a=2a-a²
解得，a=0或a=1
由于{x(n)}单调递增，
∴x(n)≥x(1)
∴a＞0
综上，lim(n→∞)x(n)=a=1
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