Question

在数列{an} 中,a1=1,a(n+1)=2an+2^n

在数列{an} 中,a1=1,a(n+1)=2an+2^n

求数列{an} 的前N项和
请在半小时内给答案,急用

是求和,不是求通项公式

Answer 1

a(n+1)=2an+2^n
同除以2^n
a(n+1)/2^n=2an/2^n+1

a(n+1)/2^n-an/2^(n-1)=1
所以数列｛an/2^(n-1)｝为以1为公差的等差数列
a1/2^0=1
an/2^(n-1)=1+(n-1)*1=n

所以an = n2^(n-1)

Sn=1*2^0+2*2^1+3*2^2+....+ n2^(n-1)
2Sn= 1*2^1+2*2^2+....+(n-1)2^(n-1)+n2^n
用2式－1式
Sn=-1-2^1-2^2-....2^(n-1)+n2^n
=-1-(2+2^2+2^3+...+2^(n-1))+n2^n
=(n-1)2^n+1

(错位相消法)

Answer 2

a(n+1)=2an+2^n
两边同时除以 2^n，得a(n+1)/2^n=an/2^(n-1)+1
令Bn=an/2^(n-1),所以，B(n+1)-Bn=1,因为B1=a1/2^0=1,所以，Bn=n，
所以An=n*2^(n-1),设前n项和为Sn,
Sn=1*1+2*2+3*2^2+4*2^3+....+n*2^(n-1)
2Sn=2*1+2*2^2+3*2^3+4*2^4+....(n-1)*2^(n-1)+n*2^n
Sn-2Sn=-Sn=1+2+2^2+2^3+...2^(n-1)-n*2^n
好了，自己化简吧，应该会了吧，前面用公式，再自己整理一下，注意求出来得是-Sn，自己再改成Sn哦

Answer 3

2^n这是什么？
2的n次方？还是2n？