Question

这个微分方程怎么求啊……求大神

这个微分方程怎么求啊……求大神第5题的第5，7两小问

Answer 1

(5)
∵y²dx+(x-2xy-y²)dy=0
∴y²dx/dy+(1-2y)x=y².(1)
∵方程(1)是x关于y得一阶线性微分方程
∴由一阶线性微分方程通解公式,

需要注意的是，这里x和y互换，是x关于y的方程！
得方程(1)通解是x=(Ce^(1/y)+1)y²
故原方程的通解是 x=(Ce^(1/y)+1)y²
(7)
除以y³得：2y'sinx/y³+cosx/y²=(xcosx-sinx)
令u=1/y²,u‘=-2y'/y³,代入得：
u'sinx-ucosx=sinx-xcosx
还是运用通解公式
通解为：u=sinx(C+∫(1/sinx-xcosx/sin²xdx)
=sinx(C+ln|cscx-cotx|+∫xd(1/sinx)
=sinx(C+ln|cscx-cotx|+x/sinx-∫dx/sinx) 
=sinx(C+x/sinx)
即：1/y²=Csinx+x

追问

第五题做的好像有问题……

追答

答案不对？

追问

不是要求这个的积分吗？

你那个怎么一步求出来的呀……

追答

∫(1-2y)dy/y²=-1/y-2lny=-(1/y+lny²)
齐次的通解为y²Ce^(1/y)
特解
y²e^(1/y)∫e^(-1/y)dy/y²
=y²e^(1/y)∫e^(-1/y)d(-1/y)
=y²e^(1/y)*e^(-1/y)
=y²
所以通解x=y²Ce^(1/y)+y²

追问

哦哦哦！！

多谢！