计算下面二重积分试题
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解：
区域D：(x-R)²+y²≤R²
令：
x'=x-R
y'=y
则：
x'²+y'²≤R²
dx'dy'=dxdy
x+y=x'+y'+R
∴
原积分
=∫∫(D') (x'+y'+R) dx'dy'
=∫∫(D') (x'+y')dx'dy' + ∫∫(D') R dx'dy'
z=x'+y'在x'Oy'上是奇函数
因此：∫∫(D') (x'+y')dx'dy'=0
原积分
=∫∫(D') R dx'dy'
=R∫∫(D') dx'dy'
=R·πR²
=πR³
区域D：(x-R)²+y²≤R²
令：
x'=x-R
y'=y
则：
x'²+y'²≤R²
dx'dy'=dxdy
x+y=x'+y'+R
∴
原积分
=∫∫(D') (x'+y'+R) dx'dy'
=∫∫(D') (x'+y')dx'dy' + ∫∫(D') R dx'dy'
z=x'+y'在x'Oy'上是奇函数
因此：∫∫(D') (x'+y')dx'dy'=0
原积分
=∫∫(D') R dx'dy'
=R∫∫(D') dx'dy'
=R·πR²
=πR³
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