Question

微分和积分互为逆运算吗

Answer 1

微分与积分互为逆运算
定积分是曲边图形面积的计算方法.最早在阿基米德计算抛物线与直线围城的面积的手稿中就有应用.高中球体积、表面积公式也是定积分法推导的.积分思想的诞生是牛顿和莱布尼茨各自创立的,而积分先于微分出现.
之后又出现了求曲线切线的问题,从此引出导数,近似值导致微分的产生.
求导是微分的计算方法,微分与积分互为逆运算.

Answer 2

狭义的求导是个很奢侈的事，所以不考虑太坏的函数，只考虑好的函数。
比如: Cantor函数，[0，1]上连续且几乎处处可导，导函数几乎处处等于0，但它是严格单调增且f(0)=0,f(1)=1
这是传统Newton-leibniz定理的反例。说明一般情况下，求导与积分不为互逆运算。
但
L1空间(a.e.相等视为恒等)和AC函数空间(差一常数视为恒等)中求导和积分是互逆运算，而且是双射。
C和C1函数空间中亦然