Question

一道证明，证明有且仅有一个根

Answer 1

题目是三角函数与一般函数结合的题型，证明方程有根的情况，我们可以转转化为函数与x轴交点问题，直接证明难度大，可以先讨论函数单调性，属于中等稍难题目。
证明：设f（x）=x+a+bcosx=0
那么f（x）′=1-bsinx，因为sinx∈（-1,1），而0<b<1，所以bsinx<1，则1-bsinx>0
即f（x）在x∈（-π/2，π/2）上是单调递增的。
如果f（x）=0存在唯一实数根，因为函数是单调的，所以只需证明f（x）上存在两点f（x1）.f（x2）<0
又因为f（-π/2）.f（π/2）=（-π/2+a）（π/2+a）=a²-（π/2）²,而a∈（0，π/2）
所以a²-（π/2）²<0，即f（-π/2）.f（π/2）<0
则f（x）=0在区间内存在唯一实数根。
证毕！