Question

如何证明相似矩阵有相同的秩

Answer 1

证明如下：

可逆矩阵U可写成n个初等矩阵乘积的形式，也就是说若矩阵A相似于矩阵B，A=U的逆矩阵乘以B乘以U；相当于是对B进行初等行变换和初等列变换，从而得到A。根据初等行、列变换不改变矩阵的秩，所以相似矩阵的秩相等。

相似矩阵的性质：

1、两者的秩相等；

2、两者的行列式值相等；

3、两者的迹数相等；

4、两者拥有同样的特征值，尽管相应的特征向量一般不同；

5、两者拥有同样的特征多项式。

扩展资料：

判断两个矩阵是否相似的辅助方法：

1、判断特征值是否相等；

2、判断行列式是否相等；

3、判断迹是否相等；

4、判断秩是否相等。

参考资料来源：百度百科-相似矩阵

Answer 2

思路：由相似矩阵具有相同的特征值证明。
过程：设矩阵A，B相似，即存在可逆矩阵P，使得B=P-1·A·P
若设A的特征值是a1，a2,.......
容易得知，B的特征值也为a1，a2,.......（由特征多项式证明）
则A可化为对角阵diag（a1，a2,......）的形式
同样，B也可化为对角阵diag（a1，a2,......）的形式
可见，相似矩阵A，B具有相同的秩