Question

求xy''－2y'=x³+x的通解，谢谢各位。

Answer 1

观察方程特征配方，-2决定了y''的系数次数为-2。
方程两边除以x³得到：
y''/x² － 2y'/x³ ＝1＋1/x²
（y'/x²）' ＝1＋1/x²
y'/x²＝x－1/x ＋ C₁
y'＝x³－x ＋ C₁x²
y＝x^4/4 － x²/2 ＋C₁x³/3 ＋C

追问

参考答案错了😰😰

第一步怎么到第二步的

追答

问题的实质是降阶，如果能把左侧转化为
( g(x)y' )' 的形式就ok了，因此需要求取g(x).
( g(x)y' )' ＝gy''＋g'y'
这个题目比较简单，可以看出来g(x)是幂函数。

理论上如下形式的方程：
y''＋g(x)y'＝f(x)
都可以通过构造函数h(x),将方程转化为：
h(x)y'' ＋h(x)g(x)y'＝h(x)f(x)
简写为：
hy''＋hgy'＝hf
h(x)满足：h'＝hg
使原方程变成：
(hy')'＝hf
可解得：
h＝e^( ∫ g(x)dx )
hy'＝∫ h(x)f(x)dx
y＝∫ [ ∫ h(x)f(x)dx / h(x)]dx

当然也可以套一阶的公式

追问

好的，谢谢