求解高数题，级数收敛性问题，谢谢。
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证明：由于0＜an＜
π
2
，0＜bn＜
π
2
，
所以sin
an+bn
2
≤
an+bn
2
，sin
bn−an
2
≤
bn−an
2
an
bn
＝
cosan−cosbn
bn
＝
2sin
an+bn
2
sin
bn−an
2
bn
≤
2
an+bn
2
bn−an
2
bn
＝
b
2
n
−
a
2
n
2bn
＜
b
2
n
2bn
＝
bn
2
由于级数
∞

n＝1
bn收敛，由正项级数的比较审敛法可知级数
∞

n＝1
an
bn
收敛．
π
2
，0＜bn＜
π
2
，
所以sin
an+bn
2
≤
an+bn
2
，sin
bn−an
2
≤
bn−an
2
an
bn
＝
cosan−cosbn
bn
＝
2sin
an+bn
2
sin
bn−an
2
bn
≤
2
an+bn
2
bn−an
2
bn
＝
b
2
n
−
a
2
n
2bn
＜
b
2
n
2bn
＝
bn
2
由于级数
∞

n＝1
bn收敛，由正项级数的比较审敛法可知级数
∞

n＝1
an
bn
收敛．
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