Question

斯托克斯公式中的两类曲线积分为啥是相等的

Answer 1

很容易区分呀。第一类曲线积分表达式中是ds。第二类曲线积分表达式中是dx+dy，或只有dx或只有dy。
另外，这两类曲线积分的物理意义是完全不同的，要想真正弄清这两类曲线积分的区别，建议好好看看书，把他们的物理意义弄明白了就很容易区分了。具体如下：
一类曲线是对曲线的长度，二类是对x,y坐标。怎么理解呢？告诉你一根线的线密度，问你线的质量，就要用一类。告诉你路径曲线方程，告诉你x,y两个方向的力，求功，就用二类。二类曲线也可以把x,y分开，这样就不难理解一二类曲线积分之间的关系了，它们之间就差一个余弦比例。
一二类曲面积分也是一样的。一类是对面积的积分，二类是对坐标的。告诉你面密度，求面质量，就用一类。告诉你x,y,z分别方向上的流速，告诉你面方程，求流量，就用第二类。同理，x,y,z方向也是可以分开的，分开了也就不难理解一二类曲面积分的关系了。
你要把以上两点都能理解的话，再去看高斯公式与流量，斯托克斯公式与旋度，这两个是线面体积分转化的两个公式，都理解了就没问题了。
学积分，重要的就是要理解：积分就等于是求积（乘法的积）。积分就是乘法。因为变量在连续变化，我不能直接乘，所以有了微积分来微元了再乘。一类线面积分就是函数和线面乘，二类线面积分就是函数和坐标乘。