Question

线性代数：计算行列式 x -1 0 … 0 0 0 x -1 … 0 0

线性代数：计算行列式
x -1 0 … 0 0
0 x -1 … 0 0线性代数：计算行列式
x -1 0 … 0 0
0 x -1 … 0 0
… … … … … …
0 0 0 … x -1
an an-1 an-2 … a2 x+a1
这个的做法老师说是用第一列乘x分之一加到第二节消掉第二列里面的-1，之后以此类推直到消去最后一列的-1，但是如果先用最后一节加上倒数第二列乘以x分之一再以此类推向前直到第二列加上第一列乘x分之一，这样同样消掉了每一列的-1，可是ann这一项用这两用算法得到的答案不同啊，这样行列式的结果不也就不同了吗？求大神解答～～～

Answer 1

利用行列式的性质化简计算，转置后需要讨论x是否为0。

这是行列式的展开定理，因为行列式是n+1阶的，所以第1列第n+1行元素的代数余子式为（-1）^（n+1+1）M。

行列式中，当1<=i<=n时，第i行不为零的项只有bii=x,bii+1=-1;

当第i行取bii+1时，第i+1行只有取bi+1i+2时不为零；

当第i行取bii时，第i-1行只有取bi-1i-1时不为零；

又bn+1i=ai-1;当取bn+1j(1<=j<=n+1)时，

第j-1行只有取bj-1j-1=x不为零；

第j行只有取bjj+1=-1不为零；

所以1<=i<j<=n+1时，取bii=x；1<=j<i<=n时，取bii+1=-1；

行列式det(bij)=求和（-1）n-i+1(x)i-1(ai-1)(-1)n-i+1=求和(x)i-1ai-1

重要定理：

每一个线性空间都有一个基。

对一个 n 行 n 列的非零矩阵 A，如果存在一个矩阵 B 使 AB = BA =E（E是单位矩阵），则 A 为非奇异矩阵（或称可逆矩阵），B为A的逆阵。

矩阵非奇异（可逆）当且仅当它的行列式不为零。

矩阵非奇异当且仅当它代表的线性变换是个自同构。

矩阵半正定当且仅当它的每个特征值大于或等于零。

矩阵正定当且仅当它的每个特征值都大于零。

Answer 2

请参考下图的做法，利用行列式的性质化简计算，转置后就是你的问题。你说的做法不好，那样需要讨论x是否为0。

追问

如果倒过来计算呢，比如用第二行加上第一行乘以x分之一，第三行加上第二行乘以x分之一，以此类推直到第n刚加上第n-1行乘以x分之一，这样的话结果同样按照第一行展开，结果不一样啊

刚刚打错了最后是按照第一列展开，结果不一样啊

追答

结果是一样的。你这样是化成了上三角形，结果是主对角线元素相乘，有很多x的，你仔细写一下，肯定是一样的。

追问

好的谢谢啦

Answer 3

简单计算一下即可，答案如图所示