Question

一道初一奥数题

若a,b满足a^5+b^5=2*（a^2）*（b^2），求证1-ab是一个有理数的平方。
a，b为有理数

Answer 1

小妹妹，我看你的资料，你能问这么多问题，一定是个老师，对吗，呵呵
这道题，难以下手，初一都这么难啊，看来我的初一真幸福

假设b=ak
a^5+b^5=2*（a^2）*（b^2）
a^5+a^5k^5-2k^2a^4=0
a^4(a+ak^5-2k^2)=0
当a=b=0时，1-ab=1显然成立
当a不等于0时
a+ak^5-2k^2=0
a=2k^2/(1+k^5)
b=2k^3/(1+k^5)
1-ab=1-[4k^5/(1+k^5)^2]
=[(1-k^5)/(1+k^5)]^2
=[(1-b^5/a^5)/(1+b^5/a^5)]^2
=[(a^5-b^5)/(a^5+b^5)]^2
所以
1-ab是一个有理数的平方，这个有理数是
(a^5-b^5)/(a^5+b^5)或者(-a^5+b^5)/(a^5+b^5)

Answer 2

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