Question

这个函数表达式怎么求？高等数学。

Answer 1

这是个微分方程问题。

方程两边令x＝1，得f(1)-0=1-3，所以f(1)=-2。
方程两边求导，f(x)+xf'(x)-4f(x)=2x，所以f'(x)-3/x*f(x)=2。
令u＝f(x)，则u'-3u/x=2。这是个一阶线性非齐次微分方程。
先求解u'-3u/x=0，分离变量得du/u=3dx/x，两边积分得lnu＝3lnx+lnC，所以u＝Cx^3。

设u'-3u/x=2的解是u＝C(x)x^3，代入微分方程，C'(*x)x^3+C(x)*3x^2-3C(x)x^2＝2，所以C'(x)=2/x^3，积分得C(x)=-1/x^2+C。
所以u'-3u/x=2的通解是u＝x^3(-1/x^2+C)=-x+Cx^3。
所以f(x)=-x+Cx^3。
再由f(1)=-2，得C=-1。
所以f(x)=-x-x^3。