Question

一个高数题，判别条件收敛和绝对收敛

Answer 1

当n为奇数时,
sin[(n²+1)π/n]=sin(nπ + π/n) = sin(π + π/n)=-sin(π/n)
当n为偶数时,
sin[(n²+1)π/n]=sin(nπ + π/n) =sin(2π+π/n)= sin(π/n)
于是原级数为
-sin(π)+sin(π/2)-sin(π/3)+...
于是此数列为交错级数,根据莱布尼茨判别法。
设An=(-1)^n sin(π/n)
令Un=sin(π/n)
(1)当n≥2时，Un+1＜Un
[有限项不满足不影响整个级数的性质，比如U2＞U1]
(2)lim n→∞ sin(π/n)=0
所以满足莱布尼茨判别法，该级数收敛。
由于级数绝对值|An|=sin(π/n)
当n→∞时，sin(π/n)~π/n
而π/n为p级数，且发散，所以|An|也发撒，不满足绝对收敛。
综上，该级数条件收敛。