Question

第四题的等价无穷小

Answer 1

解析：
第一小题：
利用等价无穷小，1-cos(x^2+y^2)~(x^2+y^2)/2，ln(x^2+y^2+1)~x^2+y^2
所以原式=lim[(x^2+y^2)/2]/(x^2+y^2)=1/2

第二小题：利用等价无穷小，sinxy~xy，所以原式=limxy/y=limx=1

第三小题：xy是无穷小，cos[1/(x^2+y^2)]为有界函数，无穷小与有界函数之积仍然是无穷小，所以原式=0

第四小题：
因为sinx<x，siny<y，所以sinx+siny<x+y
因此，0<xy/(x^2+y^2)<xy(x+y)/(x^2+y^2)<(x+y)/2
又lim(x+y)/2=0
由夹逼准则，得
原式=0