Question

一般偏微分方程pde的分类是怎样的

Answer 1

1. 方程中会出现未知函数的导数。按导数的最高阶数(highest order derivative)，可分为一阶(1st order)，二阶，三阶等等。

   如：-(u')^2=0,u''＊u'+u'=1,u'''*u''=u^100分别为1，2，3阶。

2. 按变量x,y,z的个数，可分为一维，二维，三维等等。

3. 按未知函数u,v,w的个数，可分为单个方程(比如Ricatti方程)，或者方程组(比如Cauchy-Riemann方程)。

4. 按解的叠加(superposition)性质进行分类，可以分为线性和非线性两种。

   线性的(linear)：设u,v是方程的解，如果对任意实数c，凸组合w=cu+(1-c)v也是方程的解，那么方程称为线性。

   比如：u''+u=f(x)，u'''+xu''+cos(x)u=0.

   非线性(nonlinear)：设u,v是方程的解,如果存在实数c，使得凸组合w=cu+(1-c)v不是方程的解，那么方程称为非线性.如：cos(u)u'=0。

   附加：理论上深入考虑的话，非线性可以继续进行细分，如半线性(semilinear比如KPP方程)，拟线性(quasilinear，极小曲面方程),完全非线性(fully nonlinear，Monge-Ampere方程).

5. 绝大多数有实际意义的方程是一阶，二阶的方程。

   人们对一，二阶的方程还有细分。比如二阶方程中的椭圆，抛物，双曲方程。