Question

已知某曲线经过(1,1)，他的切线在纵轴上的截距等于切点的横坐标，求他的方程

已知某曲线经过(1,1)，他的切线在纵轴上的截距等于切点的横坐标，求他的方程请问能从这个题目里读出哪些有用的信息。比如f（a）=a即f（1）=1。

Answer 1

曲线在(a,f(a))的切线为：y=f'(a)(x-a)+f(a)
截距为-af'(a)+f(a)
由题意,有-af'(a)+f(a)=a
即解微分方程：-xy'+y=x,y(1)=1
dy/dx=y/x-1
令y/x=u,则y=xu,y'=u+xu'
代入方程得：u+xu'=u-1
得：xu'=-1
即u'=-1/x
即u=-ln|x|+C
得：y=-xln|x|+Cx
代入y(1)=1=c
故y=-xln|x|+1