Question

请详细分析这道题

请详细分析这道题为什么有4，为什么是零到二分之派，图是怎么画出来的?

Answer 1

x=acos³t； y=asin³t；这是有名的星形线。
消去参数t：两式的两边都乘以(2/3)次方得：x^(2/3)=a^(2/3)cos²t；y^(2/3)=a^(2/3)sin²t
再两式相加即得直角坐标方程：x^(2/3)+y^(2/3)=a^(2/3);
设F(x，y)=x^(2/3)+y^(2/3)-a^(2/3)=0；显然，F(-x，y)=F(x，-y)=F(-x，-y)=0
∴既是奇函数，又是偶函数。图像既关于y轴对称，又关于x轴对称，还关于原点对称。
上面的积分是图形曲线所围的面积，此面积是区间[0，π/2]内的面积的4倍，因此只需求出区
间[0，π/2]的面积再乘以4倍就可以了。
作图可用逐点描绘：把90°分成若干等分，依次求出相应的x，y值，然后逐点描绘。再按对称
性作出其它象限内的图形。

Answer 2

S=4|∫<0,π/2>a(sint)^3d[a(cost)^3]|
=12a^2∫<0,π/2>(sint)^4(cost)^2dt
=(3/2)a^2∫<0,π/2>(sin2t)^2(1-cos2t)dt
=(3/2)a^2∫<0,π/2>[(1-cos4t)/2-(sin2t)^2cos2t]dt
=(-3/2)a^2[t/2-(1/8)sin4t-(1/6)(sin2t)^3]|<0,π/2>

=(3π/8)a^2.