Question

所有特征值的乘积等于矩阵的行列式吗

Answer 1

所有特征值的乘积等于矩阵的行列式，这个是正确的。

计算的特征多项式；求出特征方程的全部根，即为的全部特征值；对于的每一个特征值，求出齐次线性方程组的一个基础解系，则的属于特征值的全部特征向量，其中是不全为零的任意实数。

若是的属于的特征向量，则也是对应于的特征向量，因而特征向量不能由特征值唯一确定。反之，不同特征值对应的特征向量不会相等，亦即一个特征向量只能属于一个特征值。

扩展资料：

设A为一n×n三角形矩阵。则A的行列式等于A的对角元素的乘积。根据定理，只需证明结论对下三角形矩阵成立。利用余子式展开和对n的归纳法，容易证明这个结论。

令A为n×n矩阵，若A有一行或一列包含的元素全为零，则det(A)=0；若A有两行或两列相等，则det(A)=0。这些结论容易利用余子式展开加以证明。

Answer 2

所有特征值的乘积等于矩阵的行列式，这个是正确的。

计算的特征多项式；求出特征方程的全部根，即为的全部特征值；对于的每一个特征值，求出齐次线性方程组的一个基础解系，则的属于特征值的全部特征向量，其中是不全为零的任意实数。

若是的属于的特征向量，则也是对应于的特征向量，因而特征向量不能由特征值唯一确定。反之，不同特征值对应的特征向量不会相等，亦即一个特征向量只能属于一个特征值。

求矩阵的全部特征值和特征向量的方法如下：

第一步：计算的特征多项式；

第二步：求出特征方程的全部根，即为的全部特征值；

第三步：对于的每一个特征值，求出齐次线性方程组的一个基础解系，则的属于特征值的全部特征向量是其中是不全为零的任意实数。

[注]：特征向量不能由特征值惟一确定。反之，不同特征值对应的特征向量不会相等，亦即一个特征向量只能属于一个特征值。

Answer 3

是的，所有特征值之积，等于矩阵行列式；

而所有特征值之和，等于矩阵的迹

Answer 4