Question

求极限，怎么求，如图。

求极限，怎么求，如图。跪求

Answer 1

lim(n->∞) [ a^(1/n) -b^(1/n) ]^2 /[ a^(1/n^2) - b^(1/n^2) ]
=lim(n->∞) [ a^(1/n) -b^(1/n) ] /[ a^(1/n) + b^(1/n) ]
=(1 - 1)/(1+1)

=0

追问

下面不是平方差啊

追答

x^2-y^2 = (x-y)(x+y)
x= a^(1/n) , y=b^(1/n)
a^(1/n^2) - b^(1/n^2) =[ a^(1/n) - b^(1/n) ] . [ a^(1/n) + b^(1/n) ]
---------------------
lim(n->∞) [ a^(1/n) -b^(1/n) ]^2 /[ a^(1/n^2) - b^(1/n^2) ]
=lim(n->∞) [ a^(1/n) -b^(1/n) ]^2 /{ [ a^(1/n) - b^(1/n) ] . [ a^(1/n) + b^(1/n) ] }
=lim(n->∞) [ a^(1/n) -b^(1/n) ] /[ a^(1/n) + b^(1/n) ]
=(1 - 1)/(1+1)

=0

追问

不对啊，亲

追答

consider
lim(x->∞) [ a^(1/x) -b^(1/x) ]^2 /[ a^(1/x^2) - b^(1/x^2) ] (0/0)

=lim(x->∞) 2[ a^(1/x) -b^(1/x) ] . [ (-1/x^2)(lna) a^(1/x) +(1/x^2)(lnb).b^(1/x) ]
/[ -(2/x^3) (lna).a^(1/x^2) + (2/x^3)(lnb). b^(1/x^2) ]
=lim(x->∞) x[ a^(1/x) -b^(1/x) ] . [ (-(lna) a^(1/x) +(lnb).b^(1/x) ]

/[ -(lna).a^(1/x^2) + (lnb). b^(1/x^2) ]
=lim(x->∞) x[ a^(1/x) -b^(1/x) ]

=lim(x->∞) [ a^(1/x) -b^(1/x) ] /(1/x) (0/0)
=lim(x->∞) [ (lna)a^(1/x) -(lnb)b^(1/x) ]
=lna -lnb
lim(n->∞) [ a^(1/n) -b^(1/n) ]^2 /[ a^(1/n^2) - b^(1/n^2) ] =lna-lnb

追问

没看太懂，您说思路吧

老师啊！

追答

consider
lim(x->∞) [ a^(1/x) -b^(1/x) ]^2 /[ a^(1/x^2) - b^(1/x^2) ] (0/0)
------
分子，分母分别求导
-----------------
=lim(x->∞) 2[ a^(1/x) -b^(1/x) ] . [ (-1/x^2)(lna) a^(1/x) +(1/x^2)(lnb).b^(1/x) ]
/[ -(2/x^3) (lna).a^(1/x^2) + (2/x^3)(lnb). b^(1/x^2) ]
------
化简
-------
=lim(x->∞) x[ a^(1/x) -b^(1/x) ] . [ (-(lna) a^(1/x) +(lnb).b^(1/x) ]
/[ -(lna).a^(1/x^2) + (lnb). b^(1/x^2) ]
------------
考虑
lim(x->∞) [ (-(lna) a^(1/x) +(lnb).b^(1/x) ]/[ -(lna).a^(1/x^2) + (lnb)b^(1/x^2) ]
=lim(x->∞) [ (-(lna) +(lnb) ]/[ -(lna)+ (lnb) ]
=1
上式化简成 lim(x->∞) x[ a^(1/x) -b^(1/x) ]
-------------------
=lim(x->∞) x[ a^(1/x) -b^(1/x) ]
=lim(x->∞) [ a^(1/x) -b^(1/x) ] /(1/x) (0/0)
------
分子，分母分别求导
----------------
=lim(x->∞) [ (lna)a^(1/x) -(lnb)b^(1/x) ]
=lna -lnb
得出结论
lim(n->∞) [ a^(1/n) -b^(1/n) ]^2 /[ a^(1/n^2) - b^(1/n^2) ] =lna-lnb

Answer 2

把分母分解，如a2-b2=(a+b)(a-b)，约分把n=∞代入

追问

下面不是平方差

追答

是啊，(a1/n)2

追问

追答

噢

追问

追答