Question

三重积分计算

三重积分计算就最后一步倒数第二行怎么得到最后一行的结果

Answer 1

=8/3 * ∫( 2cos²θ * dθ) + 128/15 *∫ sinθ*dθ
因为 sinθ 在 [0, 2π] 范围内是一个周期函数，它与 x 轴所围成的面积之和为 0 （正、负抵消）。所以，后面一项积分为 0。那么，上式等于：
= 8/3 * ∫(1+cos2θ)*dθ
=8/3 * ∫dθ + 4/3 * ∫2*cos2θ*dθ
=8/3 * θ + 4/3 * ∫cos2θ*d(2θ)
同理，上式后面一项在 [0, 2π] 范围内的积分也为 0。因此，
=8/3 * (2π - 0)
=16π/3