Question

高中数学求解

Answer 1

f(x)=ax³+（a-1）x²-x+2,0≤x≤1，在x=1处取得最小值，求实数a的取值范围。
一般用求导的办法：
f'(x)=3ax²+2（a-1）x-1
Δ=4（a-1）²+12a=4[a²-2a+1+3a]=4（a+1）²≥0，总是有根的；
x=[-2(a-1)±2|a+1|]/6a
=[1-a±|a+1|]/3a
a>-1,x=[1-a±(a+1)]/3a=(-2/3,2/3a);
a=-1,x=2/3a=-2/3;
a<-1,x=[1-a干(a+1)]/3a=(2/3a,-2/3);
a>0,曲线是И形的，a<0,曲线是N型的，a=0，y=-x²-x+2=-x²-x-1/4+9/4=-（x+1/2）²+9/4≤9/4，抛物线,开口向下，对称轴x=-1/2，区间[0,1]在右枝，减函数，f(1)最小。
f(0)=2>0,f(1)=2a,
a>0,右极值点最小，（-∞，左极值点）增；（左极值点，有极值点）减；（右极值点，+∞）增；左极值点x=-2/3位于区间左侧，右极值点x=2/3a，如果位于区间[0,1]内，0≤2/3a<1,1<3a/2≤+∞，2/3<a≤+∞，最小值不在f(1);2/3a≥1,f(1)最小，0≤a≤2/3；
a＜0，减-左极值点-增-右极值点-减：
-1≤a<0,左极值点2/3a，右极值点-2/3，在区间左边，区间范围是减区间，f(1)最小；
a<-1,左极值点-2/3,右极值点2/3a<0，在区间左边，区间范围是减区间，f(1)最小；
合并：a≤2/3

追问

谢谢