Question

用换元积分法求∫dx/(√x^2+a^2)

如题

Answer 1

令 x=atanu，则 dx=a(secu)^2 du，

∫ dx/√(x^2+a^2) = ∫secu du

=∫secu(secu+tanu) / (secu+tanu) du

=ln|secu+tanu| + C

=ln| x+√(x^2+a^2) | + C

因为其形式为黎曼－斯蒂尔杰斯积分，但在黎曼－斯蒂尔杰斯积分中变数的取值范围应该还是x的取值范围，而不是g(x)的取值范围。

扩展资料：

引入一个或几个新的变量代替原来的某些变量的变量求出结果之后，返回去求原变量的结果.换元法通过引入新的元素将分散的条件联系起来，或者把隐含的条件显示出来，或者把条件与结论联系起来，或者变为熟悉的问题.其理论根据是等量代换。

应用于去根号，或者变换为三角形式易求时，主要利用已知代数式中与三角知识中有某点联系进行换元。如求函数y=√1-x^2的值域时，若x∈[-1,1]，设x=sin α ，sinα∈[-1,1 ]，问题变成了熟悉的求三角函数值域。

有时在分解因式时，可以选择多项式中的相同的部分换成另一个未知数，然后进行因式分解，最后再转换回来，这种方法叫做换元法。

参考资料来源：百度百科——换元法

Answer 2

引用西域牛仔王的回答：
令 x=atanu，则 dx=a(secu)^2 du，
∫ dx/√(x^2+a^2) = ∫secu du
=∫secu(secu+tanu) / (secu+tanu) du
=ln|secu+tanu| + C
=ln| x+√(x^2+a^2) | + C

老师你好，您的步骤改成这样更好理解。
令 x=atanu，则 dx=a(secu)^2 du，
∫ dx/√(x^2+a^2)
= ∫asecu╱a du
=∫asecu(secu+tanu)/(asecu+atanu) du
=ln|asecu+atanu| + C
=ln| x+√(x^2+a^2) | + C

Answer 3

令 x=atanu，则 dx=a(secu)^2 du，
∫ dx/√(x^2+a^2) = ∫secu du
=∫secu(secu+tanu) / (secu+tanu) du
=ln|secu+tanu| + C
=ln| x+√(x^2+a^2) | + C