Question

在三角形ABC中，已知（cosA+2cosC)/(cosA+2cosB)=sinB/sinC，试判断三角形ABC的形状。 解法是什么？？？

在三角形ABC中，已知（cosA+2cosC)/(cosA+2cosB)=sinB/sinC，试判断三角形ABC的形状。 解法是什么？？？

Answer 1

”sinA＋sinB＝cosA＋cosB”是”C＝90度”的充要条件.

(1).若sinA＋sinB＝cosA＋cosB

sinA+sinB
=sin[(A+B)/2+(A-B)/2]+sin[(A+B)/2-(A-B)/2]
={sin[(A+B)/2]*cos[(A-B)/2]+cos[(A+B)/2]*sin[(A-B)/2]}
+{sin[(A+B)/2]*cos[(A-B)/2]-cos[(A+B)/2]*sin[(A-B)/2]}
=2sin[(A+B)/2]*cos[(A-B)/2]

cosA+cosB
=cos[(A+B)/2+(A-B)/2]+cos[(A+B)/2-(A-B)/2]
={cos[(A+B)/2]*cos[(A-B)/2]-sin[(A+B)/2]*sin[(A-B)/2]}
+{cos[(A+B)/2]*cos[(A-B)/2]+cos[(A+B)/2]*sin[(A-B)/2]}
=2cos[(A+B)/2]*cos[(A-B)/2]

∴2sin[(A+B)/2]*cos[(A-B)/2]=2cos[(A+B)/2]*cos[(A-B)/2]
cos[(A-B)/2]*{[2sin[(A+B)/2]-cos[(A+B)/2]}=0
∴cos[(A-B)/2]=0或者[2sin[(A+B)/2]-cos[(A+B)/2]=0
即cos[(A-B)/2]=0或者tan[(A+B)/2]=1

所以(A-B)/2=∏/2+K∏,(K∈Z)或者(A+B)/2=∏/4+K∏,(K∈Z)
即A-B=∏+2K∏,(K∈Z)或者A+B=∏/2+2K∏,(K∈Z)

又A,B,C是三角形的内角,
所以A+B=∏/2
所以
C＝90度.

(2).若C＝90度,则A+B=90度.
sinA＋sinB
=sinA+sin(90-A)
=sinA+cosA
cosA＋cosB
=cosA+cos(90-A)
=cosA+sinA

∴sinA＋sinB＝cosA＋cosB

综上所述, 三角形ABC中，”sinA＋sinB＝cosA＋cosB”是”C＝90度”的充要条件