这道定积分怎么做
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如图
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根据定积分的几何意义，∫<0, π> √(π^2-x^2)dx 是圆 x^2+y^2 = π^2
在第一象限部分的面积，即 (π/4)π^2, 其 4 倍就是 π^3
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令x=πsint，则dx=d(πsint)=πcostdt
√(π²-x²)=√(π²-π²sin²t)=πcost
当x=0时，t=0；当x=π时，t=π/2
4∫(0,π)√(π²-x²)dx
=4∫(0,π/2)πcost*πcostdt
=2π²∫(0,π/2)(1+cos2t)dt
=2π²(t+1/2*sin2t)|(0,π/2)
=π³
√(π²-x²)=√(π²-π²sin²t)=πcost
当x=0时，t=0；当x=π时，t=π/2
4∫(0,π)√(π²-x²)dx
=4∫(0,π/2)πcost*πcostdt
=2π²∫(0,π/2)(1+cos2t)dt
=2π²(t+1/2*sin2t)|(0,π/2)
=π³
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三角换元脱根号令x=πsinu
=∫(0.π/2)πcosudπsinu
=π²∫cos²udu
=π²/2∫cos2u+1du
=π²/2(sin2u/2+u)
=π³/4
=∫(0.π/2)πcosudπsinu
=π²∫cos²udu
=π²/2∫cos2u+1du
=π²/2(sin2u/2+u)
=π³/4
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