Question

如果矩阵方程AX=B有解，但解不惟一，试确定参数a．

已知答案，求过程？？

Answer 1

将系数矩阵行列式第 2，3 列均加到第 1 列， 然后第 2，3 行分别减去第 1 行，得
|A| = (a+2)(a-1)^2, 解不唯一， 则 |A| = 1，-2。
a = 1 时
增广矩阵 (A, B) =
[1 1 1 1 -1]
[1 1 1 1 -1]
[1 1 1 1 -1]
初等行变换为
[1 1 1 1 -1]
[0 0 0 0 0]
[0 0 0 0 0]
r(A, B) = r(A) = 1 < 3, 方程组有无穷多解。
a = -2 时
增广矩阵 (A, B) =
[-2 1 1 1 -1]
[ 1 -2 1 -2 -1]
[ 1 1 -2 4 -1]
初等行变换为
[ 1 -2 1 -2 -1]
[ 0 -3 3 -3 -3]
[ 0 3 -3 6 0]
初等行变换为
[ 1 -2 1 -2 -1]
[ 0 1 -1 1 1]
[ 0 0 0 3 -3]
r(A, B) = 2, r(A) = 3, 方程组无解。
故得 a = 1.

追问

还有一问

追答

a = 1 时，增广矩阵已化为
[1 1 1 1 -1]
[0 0 0 0 0]
[0 0 0 0 0]
对于常数矩阵 B 第 1 列， 方程组化为
x1 = 1-x2-x3
取 x2 = x3 = 0 得特解 (1 0 0)^T
导出组 为 x1 = -x2-x3，
取 x2 = 1， x3 = 0 得特解 (-1 1 0)^T
取 x2 = 0， x3 = 1 得特解 (-1 0 1)^T
方程组通解是 x = (1 0 0)^T + k1(-1 1 0)^T + k2(-1 0 1)^T
即答案的第 1 列；
对于常数矩阵 B 第 2 列， 方程组化为
x1 = -1-x2-x3
取 x2 = x3 = 0 得特解 (-1 0 0)^T
导出组 为 x1 = -x2-x3，
取 x2 = 1， x3 = 0 得特解 (-1 1 0)^T
取 x2 = 0， x3 = 1 得特解 (-1 0 1)^T
方程组通解是 x = (-1 0 0)^T + L1(-1 1 0)^T + L2(-1 0 1)^T
即答案的第 2 列。

Answer 2

非齐次线性方程组AX=b的导出组就是令常数列b=0得到的齐次线性方程组 AX=0. AX=0仅有零解, 并不能说明 AX=b 是有解还是无解, 故D正确. Ax=0仅有0解则r(A)=n 而 r(A b)=n " r(A,b) 可能等于 n+1. 例如 (A,b) = 1 0 1 0 1 0 0 0 1 n是未知量的个数 或 A的列数,而例中n=2

追问

什么东西？？