Question

大一高数题

Answer 1

【注：以下方法请参考课本上“多元函数的极值及求法”一节】

f(x,y)=x²y+xy²-xy

令

f'x=2xy+y²-y=0

f'y=x²+2xy-x=0

经验证，(1/3,1/3)是上述方程组的解

令A=f''xx=2y，B=f''xy=2x+2y-1，C=f''yy=2x

在(1/3,1/3)处，A=2/3，B=1/3，C=2/3

从而AC-B²=1/3

因为AC-B²>0，A>0

所以，(1/3,1/3)是极小值点

Answer 2

这是一道微积分题

选项里问的都是关于极大值/极小值/可微的问题 所以第一步就是对这个函数求偏导数

这个函数对x的偏导数 fx = y(2x+y-1) （求的方法是把y看成常数 对x求导）

同理 这个函数对y的偏导数是 fy= x（x+2y-1）这时候把x看成常数 对y求导

可以知道在x=1/3，y=1/3时，fx=1/3（2/3+1/3-1）=0，fy=1/3（1/3+2/3-1）=0

所以在（1/3，1/3）这一点上导数等于0，这一点是一个极值点

下面判断是极大值还是极小值。最简单的办法是拿这个值和附近的两个值比较，比如点（1/3，1）和点（1，1/3）发现函数值在（1/3，1/3）更小，所以是一个极小值，为-1/27。比较严谨的方法是用D test，不过需要继续对f求二阶导。

Answer 3

两个自变量，代入也没有计算结果，在该点不可能。