Question

利用极坐标求二重积分

如图

Answer 1

利用积分区域关于y=x对称、转化成极坐标求解。
设x=ρcosθ，y=ρsinθ。∴0≤θ≤π/4，0≤ρ≤asecθ。∴原式=2∫(0,π/4)dθ∫(0,asecθ)ρ²dρ。
而，∫(0,asecθ)ρ²dρ=ρ³/3丨(ρ=0,asecθ)=(asecθ)³/3。∴原式=(2a³/3)∫(0,π/4)sec³θdθ。
又，2∫sec³θdθ=secθtanθ+ln丨secθ+tanθ丨+C。∴原式=[√2+ln(1+√2)]a³/3。
供参考。

追问

2∫sec³θdθ=secθtanθ+ln丨secθ+tanθ丨+C
不好意思，想问一下这一步是怎样计算的

会了会了 谢谢大神

Answer 2

x = a，rcost = a， r = asect; y = a, rsint = a, r = acsct.
I = ∫<0, π/4> dt ∫<0, asect> r rdr + ∫<π/4, π/2> dt ∫<0, acsct> r rdr
= (a^3/3)∫<0, π/4> (sect)^3dt + (a^3/3)∫<π/4, π/2> (csct)^3dt .
∫(sect)^3dt = ∫sectdtant = sect tant - ∫sect(tant)^2dt
= sect tant - ∫[sect(sect)^2-1]dt
= sect tant - ∫(sect)^3dt + ln|sect+tant|
得 ∫(sect)^3dt = (1/2)[sect tant + ln|sect+tant|] ;
∫(csct)^3dt = -∫csctdcott = -csct cott - ∫csct(cott)^2dt
= -csct cott - ∫csct[(csct)^2-1]dt
= -csct cott - ∫(csct)^3dt + ln|csct-cott|
得 ∫(csct)^3dt = (1/2)[-csct cott + ln|csct-cott|]
则 I = (a^3/6)[sect tant + ln|sect+tant|]<0, π/4>
+ (a^3/6)[-csct cott + ln|csct-cott|]<π/4, π/2>
= (a^3/6)[√2+ln(√2+1) + √2-ln(√2-1)]
= (a^3/6){2√2+ln[(√2+1)/(√2-1)]} = (a^3/6)[2√2+2ln(√2+1)]
= (a^3/3)[√2+ln(√2+1)]

Answer 3

设x=rcosu,y=rsinu,
原式=∫<0,π/4>du∫<0,a/cosu>r^2dr+∫<π/4，π/2>du∫<0,a/sinu>r^2dr
=(a^3/3)[∫<0,π/4>du/(cosu)^3+∫<π/4，π/2>du/(sinu)^3]
=(a^3/3)[∫<0,1/√2>dv/(1-v^2)^2(v=sinu）
+∫<0,1/√2>dw/(1-w^2)^2(w=cosu)]
=(2a^3/3)[2ln(1-v^2)+1/(1-v)+1/(1+v)]|<0,1/√2>
=(2a^3/3)(-2ln2+2).