Question

一道高数题，难度不大，烦请大佬解一下

Answer 1

思路：分子和差化积，然后等价无穷小代换，用罗必塔法则， 分子分母约去2x，
化简整理， 分母等价无穷小代换； 再用罗必塔法则， 分子分母约去2x，
化简整理， 分母等价无穷小代换；再用罗必塔法则， 分子分母约去2x，
化简整理， 分母等价无穷小代换。
原式 = -2 lim<x→0>sin[e^(x^2)-1+ln(1+x^2)]sin[e^(x^2)-1-ln(1+x^2)]/x^6
= -2 lim<x→0>[e^(x^2)-1+ln(1+x^2)][e^(x^2)-1-ln(1+x^2)]/x^6
= -2 lim<x→0>{[e^(x^2)-1]^2-[ln(1+x^2)]^2}/x^6 (0/0)
= -2 lim<x→0>{2[e^(x^2)-1]e^(x^2)2x-2ln(1+x^2)2x/(1+x^2)}/(6x^5)
= -(4/3) lim<x→0>{[e^(x^2)-1]e^(x^2)(1+x^2)-ln(1+x^2)}/[x^4(1+x^2)]
= -(4/3) lim<x→0>{[e^(2x^2)-e^(x^2)](1+x^2)-ln(1+x^2)}/x^4 (0/0)
= -(4/3) lim<x→0>{[4xe^(2x^2)-2xe^(x^2)](1+x^2)+[e^(2x^2)-e^(x^2)]2x
-2x/(1+x^2)}/(4x^3)
= -(2/3) lim<x→0>{[2e^(2x^2)-e^(x^2)](1+x^2)^2+[e^(2x^2)-e^(x^2)](1+x^2)
-1}/[x^2(1+x^2)]
= -(2/3) lim<x→0>{[2e^(2x^2)-e^(x^2)](1+x^2)^2+[e^(2x^2)-e^(x^2)](1+x^2)
-1}/(x^2) (0/0)
= -(2/3) lim<x→0>{[8xe^(2x^2)-2xe^(x^2)](1+x^2)^2+[2e^(2x^2)-e^(x^2)]2(1+x^2)2x
+[4xe^(2x^2)-2xe^(x^2)](1+x^2)+[e^(2x^2)-e^(x^2)]2x}/(2x)
= -(2/3) lim<x→0>{[4e^(2x^2)-e^(x^2)](1+x^2)^2+[2e^(2x^2)-e^(x^2)]2(1+x^2)
+[2e^(2x^2)-e^(x^2)](1+x^2)+[e^(2x^2)-e^(x^2)]}
= -(2/3)(3+2+1+0) = -4.

追问

好像不对啊，大佬看看这道题能不能用等价无穷小？

追答

分子是和差，不能直接用等价无穷小代换
思路：分子和差化积，然后等价无穷小代换，用罗必塔法则，
分子分母约去2x，化简整理， 分母等价无穷小代换；
再用罗必塔法则， 分子分母约去2x，化简整理， 分母等价无穷小代换；
再用罗必塔法则， 分子分母约去2x，化简整理。
原式 = -2 limsin[e^(x^2)-1+ln(1+x^2)]sin[e^(x^2)-1-ln(1+x^2)]/x^6
= -2 lim[e^(x^2)-1+ln(1+x^2)][e^(x^2)-1-ln(1+x^2)]/x^6
= -2 lim{[e^(x^2)-1]^2-[ln(1+x^2)]^2}/x^6 (0/0)
= -2 lim{2[e^(x^2)-1]e^(x^2)2x-2ln(1+x^2)2x/(1+x^2)}/(6x^5)
= -(4/3) lim{[e^(x^2)-1]e^(x^2)(1+x^2)-ln(1+x^2)}/[x^4(1+x^2)]
= -(4/3) lim{[e^(2x^2)-e^(x^2)](1+x^2)-ln(1+x^2)}/x^4 (0/0)
= -(4/3) lim{[4xe^(2x^2)-2xe^(x^2)](1+x^2)+[e^(2x^2)-e^(x^2)]2x
-2x/(1+x^2)}/(4x^3)
= -(2/3) lim{[2e^(2x^2)-e^(x^2)](1+x^2)^2+[e^(2x^2)-e^(x^2)](1
+x^2)-1}/[x^2(1+x^2)]
= -(2/3) lim{[2e^(2x^2)-e^(x^2)](1+x^2)^2+[e^(2x^2)-e^(x^2)](1
+x^2)-1}/(x^2) (0/0)
= -(2/3) lim{[8xe^(2x^2)-2xe^(x^2)](1+x^2)^2+[2e^(2x^2)-e^(x^2)]
2(1+x^2)2x+[4xe^(2x^2)-2xe^(x^2)](1+x^2)+[e^(2x^2)-e^(x^2)]2x}/(2x)
= -(2/3) lim{[4e^(2x^2)-e^(x^2)](1+x^2)^2+[2e^(2x^2)-e^(x^2)]
2(1+x^2)+[2e^(2x^2)-e^(x^2)](1+x^2)+[e^(2x^2)-e^(x^2)]}
= -(2/3)(3+2+1+0) = -4.

追问

大佬，和差化积是不是有问题啊？

Answer 2

试试看吧