Question

求该高数在[0,1]上的最大值与最小值

Answer 1

对x求导，有F'(x)=3x/(x²-x+1)。而，x²-x+1=(x-1/2)²+3/4≥3/4，∴x≥0时，F'(x)>0。∴F(x)在x∈[0,1]上单调增。
∴F(x)min=0，F(x)max=F(1)。
又，F(1)=∫(0,1)3tdt/(t²-t+1)=(3/2)∫(0,1)(2t-1+1)dt/(t²-t+1)=(3/2)ln(t²-t+1)丨(t=0,1)+(√3)arctan[(2t-1)/√3]丨(t=0,1)=(√3)π/3。
∴在x∈[0,1]上，F(x)的最小值为0，最大值为(√3)π/3。
供参考。

Answer 2

F'(x) = 3x/(x^2-x+1), 得驻点 x = 0，
F(0) = 0,
F(1) = ∫<0, 1> 3tdt/(t^2-t+1)
= (3/2)∫<0, 1> (2t-1+1)dt/(t^2-t+1)
= (3/2) {∫<0, 1> d(t^2-t+1)/(t^2-t+1) + ∫<0, 1> d(t-1/2)/[(t-1/2)^2+3/4]}
= (3/2)[ln(t^2-t+1)+(2/√3)arctan((2t-1)/√3)]<0, 1>
= (3/2)(2/√3)π/3 = π/√3,
最小值 F(0) = 0， 最大值 F(1) = π/√3

Answer 3

F(x) = ∫(0->x) 3t/(t^2-t+1) dt
F'(x) =3x/(x^2-x+1)
F'(x) =0
=>x=0
F'(x) | x= 0+ >0
F'(x) | x=0- <0
x=0 (min)
min F(x)= F(0) = ∫(0->0) 3t/(t^2-t+1) dt =0