Question

为什么两个向量组的秩是相等，是这两个向量组等价的必要条件？而不是充要条件？

Answer 1

向量组可以简单的理解成矩阵，矩阵的秩相等，这两个可以是不同型的，不同型当然不能等价。

向量组等价，是向量组可以相互线性表示。与两个向量组的最大无关组可以相互线性表示是充要条件。

显然，两个向量组的秩相同，是两个向量组的最大无关组可以相互线性表示的必要不充分条件。而两个矩阵等价，只能推出这两个向量组的秩相同，是两个向量组最大无关组可以相互线性表示的必要条件。

扩展资料：

1、等价向量组具有传递性、对称性及反身性。但向量个数可以不一样，线性相关性也可以不一样。

2、任一向量组和它的极大无关组等价。

3、向量组的任意两个极大无关组等价。

4、两个等价的线性无关的向量组所含向量的个数相同。

5、等价的向量组具有相同的秩，但秩相同的向量组不一定等价。

参考资料来源：百度百科-等价向量组

Answer 2

知识点:向量组A,B等价的充要条件是 r(A)=r(A,B)=r(B).
因为 A组可由B组线性表示,所以 r(B,A) = r(B)
因为 r(A)=r(B),所以 r(A)=r(A,B)=r(B)
所以两个向量组等价

追问

为什么A组可由B组线性表示,r(B,A) = r(B)呢？

Answer 3

向量组Ⅰ和‖等价的充要条件不是r(Ⅰ)=r(‖)，而是r(Ⅰ)=r(‖)=r(Ⅰ,‖)。