Question

关于数列的难题

对数列{an},规定{△an}为数列{an}的一阶差分数列，其中△an=a(n+1)-an(n∈N)。对自然数k,规定{△^k an}为{an}的k阶差分数列，其中△^k an=△^(k-1)a(n+1)-△^(k-1)an=△(△^(k-1)an).(注：其中"n,(n+1)"标在a的右下角，“^k，^(k-1)”表示△的k或k-1的次方，标在右上角。）
（1）已知数列{an}的通项公式an=n^2+n (n∈N),是判断{△an}，{△^2an}是否为等差或等比数列，为什么？
（2）若数列{an}首项a1=1，且满足△^2an-△a(n+1)+an=-2^n (n∈N),求数列{an}的通项公式。
（3）对（2）中数列{an},是否存在等差数列{bn},使得b1C^1n+b2C²n+……+bnC^nn=an对一切自然数n∈N都成立？若存在，求数列{bn}的通项公式；若不存在，则请说明理由。（注：“C¹n,C²n……是组合数，即从n个数中取出1，2，……，n个）

Answer 1

(1)△an=a(n+1)-an=(n+1)^2+n+1-n^2-n=2n+2 等差
△^2 an=△a(n+1)-△an=2(n+1)+2-2n-2=2 既是等差又是等比

(2)△^2an-△a(n+1)+an=△a(n+1)-△an-△a(n+1)+an
=-△an+an=-[a(n+1)-an]+an=2an-a(n+1)=-2^n

a(n+1)=2an+2^n 即 a(n+1)/2^(n+1)=2an/2^n+(1/2) 所以an=n*2^(n-1)

(3)b1C^1n+b2C²n+……+bnC^nn=
d(C^2n+2*C3n+…+(n-1)*C^nn)+b1(C^1n+C²n+…+C^nn)=
d(2*C^2n+3*C3n+…+n*C^nn)-d(C^2n+C3n+…+C^nn)+b1(C^1n+C²n+…+C^nn)=
(n*2^(n-1)-n)d-(2^n-1-n)d+(2^n-1)b1=
(n2^(n-1)-2^n+1)d+(2^n-1)b1

将n=1,n=2代入求出b1=d=1
然后带到上面右边，化简=n*2^(n-1)=an
所以存在数列bn=n

Answer 2

(1)△an=a(n+1)-an=(n+1)^2+n+1-n^2-n=2n+2 等差
△^2 an=△a(n+1)-△an=2(n+1)+2-2n-2=2 既是等差又是等比

(2)△^2an-△a(n+1)+an=△a(n+1)-△an-△a(n+1)+an
=-△an+an=-[a(n+1)-an]+an=2an-a(n+1)=-2^n
a(n+1)=2an+2^n
到了这里应该不要我继续往下做了吧?

(3)不会

Answer 3

我是文科 搞不了