Question

求由圆x^2+(y-R)^2=r^2绕x轴旋转一周所得旋转曲面所围立体的体积

Answer 1

解：对于R>r的条件下：根据圆的对称性，选取区间[0,r]对微元2倍之即可。

微元为：π(y1^2-y2^2)dx=π{[√(r^2-x^2)+R]^2-[√(r^2-x^2)-R]^2}dx

Vx=2π∫(0,r){[√(r^2-x^2)+R]^2-[√(r^2-x^2)-R]^2}dx

=2π∫(0,r)[4R√(r^2-x^2)]dx=8πR[(1/2)x√(r^2-x^2)-(r^2/2)arcsin(x/r)](0,r)

=4πRr^2(π/2)=2π^2Rr^2。

高斯平面直角坐标系

为了方便工程的规划、设计与施工，我们需要把测区投影到平面上来，使测量计算和绘图更加方便。而地理坐标是球面坐标，当测区范围较大时，要建平面坐标系就不能忽略地球曲率的影响。把地球上的点位化算到平面上，称为地图投影。

地图投影的方法有很多，我国采用的是高斯——克吕格投影（又称高斯正形投影），简称高斯投影。它是由德国数学家高斯提出的，由克吕格改进的一种分带投影方法。它成功解决了将椭球面转换为平面的问题。

Answer 2

解：见下图，对于R>r的条件下：根据圆的对称性，选取区间[0,r]对微元2倍之即可。

微元为:π(y1^2-y2^2)dx=π{[√(r^2-x^2)+R]^2-[√(r^2-x^2)-R]^2}dx

Vx=2π∫(0,r){[√(r^2-x^2)+R]^2-[√(r^2-x^2)-R]^2}dx

=2π∫(0,r)[4R√(r^2-x^2)]dx=8πR[(1/2)x√(r^2-x^2)-(r^2/2)arcsin(x/r)](0,r)

=4πRr^2(π/2)=2π^2Rr^2。

Answer 3

如图所示：