Question

设二维随机变量(X,Y)的概率密度为 f(x,y)= {e的-y次方，0<x<y 0 ,其它}？

f(x,y)= {e的-y次方，0<x<y 0 ,其它}
求P{X>2|Y<4}答案如图，给下详细的求解过程画一下它的积分区域。谢谢

Answer 1

详细过程如图所示，但是答案不对吧？希望能帮到你解决问题

追问

答案是书上的习题，概率论第三版吴传生的，你的fy(y)为什么要求导多一次。。

追答

啊？我看看，难道写错了？

哎呀，不好意思，写晕了……符号写成分布啦，修改一下啊

额，确是那个地方写错了

修改一下

Answer 2

简单计算一下即可，答案如图所示

Answer 3

分享一种“简单”解法。∵P(X>2丨Y<4)=P(X>2,Y<4)/P(Y<4)，∴分别求出P(X>2,Y<4)、P(Y<4)即可得。
而，P(X>2,Y<4)=∫(2,4)dy∫(2,y)f(x,y)dx=∫(2,4)(y-2)e^(-y)dy=-(y-1)e^(-y)丨(y=2,4)=e^(-2)-3e^(-4)。
对P(Y<4)，先求出Y的边缘分布的密度函数，由定义，fY(y)=∫(0,y)f(x,y)dx=ye^(-y)，y>0、fY(y)=0,y为其它。∴P(Y<4)=∫(0,4)fY(y)dy=∫(0,4)ye^(-y)dy=-(y+1)e^(-y)丨(y=0,4)=1-5e^(-4)。
∴P(X>2丨Y<4)=P(X>2,Y<4)/P(Y<4)=[e^(-2)-3e^(-4)]/[1-5e^(-4)]。
供参考。