Question

高数不等式证明？

Answer 1

主要通过拉格朗日中值定理来求。（写在纸上了，并拍了图，希望您能更好的理解。）

望采纳，谢谢。

Answer 2

望采纳

Answer 3

先证:t>0时 ln(1+t)-t/(1+t)>0
设f(t)=ln(1+t)-t/(1+t), t>-1
f'(t)=1/(1+t)-(1·(1+t)-t)/(1+t)²
=t/(1+t)²
f'(0)=0,且t>0时,f'(t)>0
则 f(t)是[0,+∞)上的增函数
得t>0时 f(t)=ln(1+t)-t/(1+t)>f(0)=0
即 t>0时 ln(1+t)>t/(1+t) (1)
x>0时 1/x>0
由(1) ln(1+(1/x))>(1/x)/(1+(1/x))
所以 x>0时ln(1+(1/x))>1/(1+x)

Answer 4

令f(x)=x^n，
则f'(x)=n·x^(n-1)
f''(x)=n(n-1)·x^(n-2)
从而，当x>0，n>1时，有f''(x)>0
于是f(x)在(0，+∞)上是下凸的，
所以对于x>0，y>0，x≠y，
有 [f(x)+f(y)]/2>f[(x+y)/2]
即 (x^n+y^n)/2 >[(x+y)/2]^n.

追问

...

你好像厕所在左边，这里是高数现场

Answer 5

构建函数f(x)=ln(1+1/x)-1/(1+x) x>0
f'(x)=(-1/x²)/(1+1/x)+1/(1+x)²
=1/(1+x)²-1/(1+x²)
=-2x/(1+x)²(1+x²)<0
f(x)是减函数
lim(x→+∞)f(x)=0
∴f(x)>0
ln(1+1/x)>1/(1+x)