Question

求解 微积分

1.for which pair(s) of functions will lim x->oo f(x)/g(x)=0?(请详解)
f(x) g(x)
a) e^x x^2
b)e^ x In x
c) In x e^x
d)x In x
e)3^ x 2^ x

2let f(x)=xsinx. find an equation for the line tangent to df(x)/dx at x＝ 派（－）／5
（ 儿）

Answer 1

楼主你好！工科留学生为你解答。

1.可以观察到当x->oo，f(x)和g(x)都趋向于正无穷，写成比的形式就可以用洛必达法则（L'Hopital's Role)求极限，我们一个个来看：

a) 用两次洛必达法则，分子为e^x，分母为2，，当x->oo时，它们的比值趋近于正无穷而不是0，排除；
b)用一次洛必达法则，分子为e^x，分母为1/x，当x->oo时，是一个趋近于正无穷的数比上一个趋近于0的数，比值趋近于正无穷而不是0，排除；
c) 与b)正好是分子与分母进行了交换，是一个趋近于0的数比上一个趋近于正无穷的数，比值趋近于0，正确；
d)用一次洛必达法则，分子为1，分母为1/x，当x->oo时，比值趋近1/0，即正无穷而不是0，排除；
e）f(x)/g(x)=(3/2)^x，无需用洛必达法则，只要知道指数函数当底数大于1时（这里是3/2)，函数值在自变量x趋向于正无穷时也趋向于正无穷，而不是0，排除。

综上，只有c）满足条件。

*以后只要知道函数增长快慢的顺序即可：对数函数(logarithmic function)<幂函数(polynomial function)<指数函数(index function)<阶乘数列(factorial).

2.首先没有完全看懂那个“派（－）”是什么，我就把它当成π来做。如果不是也不要紧，自己把x用那个值带进去就可以了。

这道题有点tricky，需要看清楚题意：要求是找出 df(x)/dx在x=π/5处的切线，所以先要找出 df(x)/dx，即f(x)的导函数，然后再次求导找出切线。

df(x)/dx=d(xsinx)/dx=sinx+xcosx （1）
d(sinx+xcosx)/dx=cosx+cosx-xsinx =2cosx-xsinx（2）
以上都用the product rule求导。

将x=π/5代入（1）求出切点坐标（π/5，sin(π/5)+π/5*cos(π/5))
将x=π/5代入（2）求出切线斜率：m=2cos(π/5)-π/5*sin(π/5)

用点斜式写切线方程：y-(sin(π/5)+π/5*cos(π/5))=(2cos(π/5)-π/5*sin(π/5))(x-π/5)

如果要算出近似值，用计算机算一下sinx和cosx在π/5处的值带进去即可。

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