Question

高等数学微分方程求帮忙

我应该怎么设才能把特解求出来

Answer 1

Answer 2

y''+y=cosx
The aux. equation
p^2 +1 =0
p=i or -i
let
yg = Acosx +Bsinx
yp=Cxcosx +Dxsinx
yp' = -Cxsinx +Ccosx + Dxcosx +Dsinx
yp''
=-Cxcosx -Csinx - Csinx - Dxsinx +Dcosx +Dcosx
=-Cxcosx -2Csinx - Dxsinx +2Dcosx
yp''+yp=cosx
-Cxcosx -2Csinx - Dxsinx +2Dcosx +Cxcosx +Dxsinx =cosx
-2Csinx +2Dcosx =cosx
C=0 ， D=1/2
yp = (1/2)xcosx
通解
y= yg+yp= Acosx +Bsinx +(1/2)xcosx

Answer 3

求微分方程 y''+y=cosx的通解
解：齐次方程y''+y=0的特征方程 r²+1=0的根 r₁=-i；r₂=i；
故齐次方程的通解为：y=c₁cosx+c₂sinx；
设原方程的特解为：y*=axcosx+bxsinx..........①； y*'=acosx-axsinx+bsinx+bxcosx；
y*''=-asinx-asinx-axcosx+bcosx+bcosx-bxsinx=-2asinx-axcosx+2bcosx-bxsinx.......②；
将①②代入原式得：
-2asinx-axcosx+2bcosx-bxsinx+axcosx+bxsinx=-2asinx+2bcosx=cosx;
∴a=0，b=1/2，故得特解为：y*=(1/2)xsinx；
通解为：y=c₁cosx+c₂sinx+(1/2)xsinx；