Question

高一函数题

只答第三问，解题思路说一下。

Answer 1

(Ⅰ).当f(x)是奇函数时，m=-1；

(Ⅱ). f(x)在x∈(1，+∞)上的单调性：

f(x)=log<a>[(x+1)/(x-1)]的定义域：由(x+1)/(x-1)>0，得定义域为x<-1或x>1；

f(x)=log<a>(x+1)-log<a>(x-1)；f'(x)=1/[(x+1)lna]-1/[(x-1)lna]=-2/[(x²-1)lna]；

当a>1时，lna>0，在x>1时 x²-1>0，故在a>1及x>1时f'(x)<0，即f(x)在（1,+∞)内是减函数;

当0<a<1时lna<0，故在0<a<1及x>1的条件下，f'(x)>0，即f(x)在(1，+∞)内是增函数。

(Ⅲ). 当a>1，x∈(1，√3)时f(x)的值域是(1，+∞)，求a的值；

在(Ⅱ)中已分析出a>1及x>1的条件下，f(x)=log<a>[(x+1)/(x-1)]是减函数;

x→1+limf(x)=x→1+limlog<a>[(x+1)/(x-1)]=+∞;

当x=√3时f(√3)=log<a>[(√3+1)/(√3-1)]=1；故(√3+1)/(√3-1)=a；即a=(√3+1)²/2=2+√3;

y=log<a>[(x+1)/(x-1)]的定义域为(-∞，-1)∪(1，+∞)；不管a如何，都是奇函数；

左图示a>1时的图像；右图示0<a<1时的图像；因为a值未定，故只能是示意图。

追问

这是高一的题，没有极限。

这是第三问答案，看不懂。

追答

图片上讲的很啰嗦，但道理还是说明白了。
你最好指出里面的哪句话不懂，免得我的回答也啰嗦。

追问

最后3个所以不明白，前面都没问题。

追答

g(x)=(x+1)/(x-1)=(x-1+2)/(x-1)=1+2/(x-1)在(1，√3)上是减函数，
所以g(x)∈(1+2/(√3-1)，+∞）；
【意思是g(√3)=1+2/(√3-1)=a，g(1)=+∞】
【因为loga=1，即底的对数=1】
所以a=1+2/(√3-1)=1+2(√3+1)/2=2+√3；

追问

可√3不在g(x)的定义域呀？

追答

g(x)=(x+1)/(x-1)的定义域为x≠1，即x∈(-∞，1)∪(1，+∞)；
【f(x)=log[(x+1)/(x-1)]的定义域为(-∞，-1)∪(1<+∞)；
是g(x)定义域的一部分】
√3∈(1，+∞)，∴√3当然在g(x)的定义域内，当然也在f(x)的
定义域内。

追问

怎么也理解不了，这个函数能不画出图象吗，这类函数图象对做题有帮助吗😊

追答

图已作出，补充在正文下面。由图可直观看出此函数的增减性。
这是一个很典型的题目，很有代表性。你若能掌握其解法和作
图法，对你一定很有帮助。

Answer 2

(I) m=-1，证明略
(II) 当0<a<1时，f(x)在(1, +∞)上单调递增；当a>1时，f(x)在(1, +∞)上单调递减，证明略
(III) 由(I)得，f(x)=loga (1+x)/(1-x)；由(II)得，f(x)单调递减
再根据第三问条件，可知x->√3时，f(x)->1
又因为f(√3)处是可导的，所以x=√3时，f(x)=1
代入f(x)可得loga (√3+1)/(√3-1)=1

所以a=(√3+1)/(√3-1)

追问

还没有学导数。

追答

函数f(x)的图像是一条光滑连续的曲线，当x从左边无限接近√3时，这条曲线上对应点的y值也无限接近1。因此不难想象，当x=√3时，这条曲线上对应点的y值也恰好是1。
即便你从没学过导数，你也完全可以得出这一合理的推论。
顺便一提，高数中某一点极限存在的充分必要条件是：该点左右极限都存在且相等。对于连续函数，函数值就是极限值。

Answer 3

第三问把fx分成两个函数，(1＋x）/(x-1)和log a
因为前者在(1，√3)是减函数，后者是增函数，根据复合函数同增异减的原理，fx是减函数，所以把x＝√3 fx＝1带入 答案就出来了

追问

√3就不在定义域呀？

追答

就好比一个一次函数求值域。定义域是(x，y)这样的，你还不是把x，y带进去了

Answer 4

（3）思路：

当a＞1时，f(x)在（1，√3）上为减函数，要使f(x)在（1，√3）上值域是（1，+∞），即㏒x+1/x-1＞1，可得x=1/x-1＞a从而求解。

追问

我已经写到(x＋1)/(x-1)>a这里，以后就不会了。

追答

可以再设新的函数g(x)=x=1/x-1,令g(x)=1+2/x-1(这一步是简单的变式)在（1，√3）上是减函数，所以g(x)∈（1+2/√3-1，+∞），所以a=1+2/√3-1=2+√3

追问

g(x)是反比例函数，在有界的区间内，值域右边界怎么会是正无穷开区间呢？

Answer 5

把单调性先弄出来，再分析

追问

内层反比例减函数，外层对数底大于1增函数，复合函数是减函数。

追答

那当x无穷大时，fx=1咯

那你再分析

追问

x无穷大？

追答

说错了，x=根号3

追问

定义域没有包括根号3呀？

追答

值域也没包括1，趋近于的关系

等你学了极限你就懂了