Question

高数题目，如图，求解

f(x)在x=0的邻域有定义,f(0)=0,为什么h->0时lim[f(2h)-f(h)]/h存在 不是 f(x)在x=0处可导的充分必要条件？

Answer 1

h->0时,lim[f(2h)-f(h)]/h存在是f(x)在x=0处可导的必要不充分条件

举个反例，

当f(x)为分段函数，x<0,f(x)=x+1,

x=0,f(x)=0,

x>0,f(x)=x-1

可以看到h->0时,lim[f(2h)-f(h)]/h存在为1（左右极限都存在）

但是f(x)在x=0处不可导

Answer 2

如果f(h)是h的连续函数就没有问题了.

反例：f(x)=x+1,当x不为0时；

f(x)=0,当x=0时；

此时lim (f(2h)-f(h))/h=1,

但f(x)在x=0不连续,当然不可导.

其实两个问题最大的区别就是f(ln(1-h))/h利用了

f(0)的信息,这个表达式就是

(f(ln(1-h))-f(0))/ln(1-h)* ln(1-h)/h,因为ln(1-h)/h极限是-1,

所以f(ln(1-h))/h极限存在等价于(f(ln(1-h))-f(0))/ln(1-h)

=(f(t)-f(0))/t,其中t=ln(1-h).

而(f(2h)-f(h))/h与f(0)实际上无关.

化简以后还是没有利用f(0)的信息.

最主要的就是(f(h)-f(0))/h这个表达式你得保证

极限的存在性.(f(ln(1-h))-f(0))/ln(1-h)按照上面的分析是有极限的,

实际上利用了f(x)在x=0的连续性.

但(f(h)-f(0))/h在第一种情况下你不知道极限是否存在.

如果存在就没有问题了（因此若加上条件f(x)在x=0连续,就是可导的

一个等价定义）,但不存在的话这么加上f(0)减去f(0)的做法是没有任何用处的.

再补充一下,其实这就是极限的四则运算的性质：

若f(h)－g(h)的极限存在,你不能保证f(h)和g(h)极限都存在,但若其中一个存在,

另一个必然存在；f(h)*g(h)极限存在,也不能保证f(h)和g(h)极限都存在,但若

其中一个存在且不为0,则另一个极限必然存在.上面说的就是这个道理而已.