Question

【高中数学】请写下详细解答过程，谢谢！

Answer 1

f(x)=1/3x^3-x^2+a, g(x)=x^2-3x
设F(x)=f(x)-g(x)=1/3x^3-2x^2+3x+a
那么有F'(x)=x^2-4x+3=(x-3)*(x-1)
在[1.3]上有F'(x)<0,函数单调减,在[3,+oo)上有F'(x)>0,函数单调增.
故在X=3处取得最小值是F(3)=1/3*27-2*9+9+a>0
解得a>0
故选择A

Answer 2

求出两函数导数f'(x)=x²-2x，g'(x)=2x-3。领f'(x)=g'(x)得出x=3或x=1，即当x=1或3时两函数切线斜率相等。

• 当x>3时f'(x)恒大于g'(x)，∴只要f(3)>g(3)就能保证f(x)在[3,+∞)上恒大于g(x)，由此求得a∈(0，+∞]。

• 当x∈[1,3]时，由于g(x)关于x=1.5对称并f(1)=-2;f(3)=0，又f(x)在[1,3]上递增，∴只要满足f(1)>g(1)且f(3)>g(3)即可保证f(x)在[1,3]上恒大于g(x)，由此求得a∈(0,+∞)

综上，a的取值为a∈(0,+∞)

Answer 3

由题意只需要f(x) - g（x）〉0在[1，+∞)恒成立,即1/3 x^3-x^2+a-x^2+3x>0恒成立，亦即1/3 x^3-x^2-x^2+3x>-a在[1，+∞)恒成立。
设h(x)=1/3 x^3-x^2-x^2+3x，则h^‘ （x）=x^2-4x+3=（x-3）(x-1)
在[1，3] h^‘ （x）≤0，在(3，+∞）h^‘ （x）>0.
h(x)在[1，3]单调递减，在(3，+∞）上单调递增。在x=3时取得最小值h（3）=0
由题意，-a<0,即a>0即可，故选A

Answer 4