Question

求助大一高等数学证明题

Answer 1

设f(x)=x^(2n+1)+a(2n)x^(2n)+a(2n-1)x^(2n-1)+...+a1x+a0
则f(x)在R上连续
当a0=0时，则f(0)=0，即x=0是方程f(x)=0的实根
当a0>0时，因为f(0)=a0>0，lim(x->-∞)f(x)=-∞
根据连续函数零点定理，存在m∈(-∞,0)，使得f(m)=0
即x=m是方程f(x)=0的实根
当a0<0时，因为f(0)=a0<0，lim(x->+∞)f(x)=+∞
根据连续函数零点定理，存在k∈(0,+∞)，使得f(k)=0
即x=k是方程f(x)=0的实根
综上所述，方程f(x)=0在R上必有实根