Question

求这道高数证明题的详解

Answer 1

证明：另f(x)=e^x-ex
则f(x)的导数f'(x)=e^x-e，那么当x>1时f'(x)>0
所以f(x)在x∈[1,∞)单调上升
∴当x>1时f(x)>f(1)=0，得证
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Answer 2

x＞1时,设f(t)＝e^t,t∈[1,x]f(t)在[1,x]上连续,在(1,x)内可导,由拉格朗日中值定理,存在ξ∈(1,x),使得f'(ξ)＝(e^x-e)/(x-1)f'(t)＝e^t,所以(e^x-e)/(x-1)＝e^ξξ＞1,所以(e^x-e)/(x-1)＞e,此即e^x＞ex 方法二：设f(x)＝e^x-ex,x∈[1,+∞)f(x)在[1,+∞)上连续,在(1,+∞)内可导,且f'(x)＝e^x－e＞0,所以f(x)在[1,+∞)上单调增加,所以x＞1时,f(x)＞f(1)＝0,所以e^x＞ex

Answer 3

设f(x)＝e^x-ex
求导，
f'(x)＝e^x-e＝0
x＝1，
x＜1时，f'(x)＜0，f(x)单调递减；
x＞1时，f'(x)＞0，f(x)单调递增；
所以，当x＝1时，f(1)＝0，x＞1时，f(x)＞0，e^x＞ex。

Answer 4

令y=e^x-ex,求导得到y'=e^x-e,x在（1，+无穷）y'>0,y递增，所以e^x-ex>0

Answer 5

求导，看单调区间，