Question

定积分问题求助

下图这道题直接求解感觉过于麻烦，而且这题貌似也并非这样求解，本想换元也没算出来，麻烦大神帮忙看看如何求解？

Answer 1

简单分析一下，答案如图所示

Answer 2

用换元法求解，设2x-t=y，∴∫(0,x)tf(2x-t)dt=∫(x,2x)(2x-y)f(y)dy=2x∫(x,2x)f(y)dy-∫(x,2x)yf(y)dy=(1/2)artanx²。
两边对x求导、经整理，有2∫(x,2x)f(y)dy-xf(x)=x/(1+x^4)。
令x=1，∴2∫(1,2)f(y)dy-f(1)=1/2。∴∫(1,2)f(y)dy=[f(1)+1/2]/2=3/4，即∫(1,2)f(x)dx=3/4。
供参考。

Answer 3

Answer 4

追问

第一步分段(x→2x)怎么能分成2x→0和0→x，不管x是正还是负，也无法满足2x<0<x，没理解你这一步

追答

积分对区间的可加性，所以把区间[x,2x]分成两个区间，分点可以是任何数，所以写成0是习惯而已。