Question

讨论二元函数的连续性，需要详细过程，谢谢

Answer 1

以一例说明
设：u(x,y) = ax^m + bxy + cy^n
∂u/∂x = amx^(m-1) + by ：对x求偏导时把y看成是常数，对y时把x看成常数；
∂^2u/∂x^2 = am(m-1)x^(m-2)
∂^2u/∂x∂y = b
∂u/∂y = bx + cny^(n-1)
∂^2u/∂y^2 = cn(n-1)y^(n-2)
若求u(x,y)的微分：
du = ∂u/∂x dx + ∂u/∂y dy
= [amx^(m-1) + by]dx + [bx + cny^(n-1)]dy
其它高阶偏导类似方法进行。

Answer 2

函数的一致连续是描述函数整体性质的一个重要的概念,在数学分析中对函数的研究起着重要的作 用.现有数学分析教材[1-2]中对一元函数的一致连续性都有详细的阐述,而且网络文库也有大量的充分 和充要条件的分析[3-6],但是对二元函数的介绍却非常少[7-8].文献[7]研究了二元函数在无穷区域上 连续与一致连续的关系,文献[8]简单给出了二元函数一致连续的几个充分条件,然而对二元函数一致连 续性的四则运算以及复合函数的一致连续性的条件以及一致连续性与偏导数有界、方向导数有界以及可 微之间的关系、二元函数的区域可加性等重要内容还没有文献介绍.本论文针对上述问题,对二元函数的 一致连续性做出详细的论述,也对现有的数学分析教材起着重要的补充作用.

1 一致连续的定义

定义 1.1 [1]设f是定义在点集DR 2 上的二元函数,对任意的0,总存在只依赖于的正数, 使得对一切点P, QD,只要(P,Q),就有f(P)f（Q）,则称函数f在D上一致连续. 定义1.2：设f(x,y)是定义在点集D R2上的二元函数,对任意的0,总存在（）0,使得 对一切点(x1,y1),(x2,y2)D,只要x1x2 ，y1y2 ,就有 f(x1,y1)f(x2,y2),则称函 数f(x,y)在D 上一致连续.

注1. 1 设f(x,y)是定义在点集D  R 2 上的二元函数,若函数f(x,y)在D 上一致连续,则函数f(x,y) 在 D 上一定连续.

0,总存在点(x1,y1),(x2,y2)D,虽然有x1x2 , y1y2 ,却有f(x1,y1)f(x2,y2)0, 则称函数f(x,y)在D 上不一致连续.

引理1.1 [1] 设f(x,y)是有界闭区域D上连续,则函数f(x,y)在D上一定有界.

引理1.2 [1][8] 设f(x,y)是有界闭区域D上连续,则函数f(x,y)在D上一致连续.

引理 1.3[8]设f(x,y)是有界开区域D 上一致连续的充要条件是函数f(x,y)在D 上连续且对任意的 (x0,y0)D,都有 lim f(x,y) 都存在.