Question

已知二次函数f(x)=ax^2+(a-1)x+a 函数g(x)=f(x)+(1-(a-1)x^2)/x在(2,3)上是增函数,求a的取值范围

解：g(x)=f(x)+[1-(a-1)x^2]/x
=ax^2+(a-1)x+a+[1-(a-1)x^2]/x
=[ax^3+(a-1)x^2+ax+1-(a-1)x^2]/x (含x^2项被合并同类向后约去)
=(ax^3+ax+1)/x
=ax^2+a+1/x
根据题意g'(x)=2ax-1/(x^2)≥0 在(2,3)上恒成立
∵2<x<3
∴a≥1/(2x^3) 恒成立
a≥[1/(2x^3)]max=1/16

g'(x)=2ax-1/(x^2)≥0这一步是怎么得到的 a≥1/(2x^3)这一步又是怎么出来的

Answer 1

2ax-1/(x^2)≥0
2ax≥1/x^2

因为2<x<3
那么不等式两边同时乘以1/2x (正数)，不等式的符号不变
那么即可以得到a≥1/(2x^3)

追问

g(x)=ax^2+a+1/x是怎么化到g'(x)=2ax-1/(x^2)≥0，我是上海的导数没学过，能讲一讲吗

追答

这是基础函数的导数，直接用公式，导数表示的意义应该是斜率，斜率>0，表示图像有向上的趋势，即函数是递增的，所以由导函数≥0可以求递增区间，同理由导函数≤0可以求递减区间
至于怎么求导数，高中阶段只要记住几个基础函数的导数就可以了:
这里用到函数：(x^n)‘=nx^(n-1) ，其中n为任意常数，常数的导数为0
那么(ax^2)'=a(x^2)'=a*(2x)=2ax
(1/x)'=[x^(-1)]'=(-1)*x^(-2)=-1/x^2
(a)'=0
那么g'(x)=2ax-1/(x^2)
因为题目要求增区间，所以我们令g'(x)≥0， 求出的就是递增的范围。

Answer 2

还没学过 sorry